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成人高考文科数学复习重点:数列的通项与求和

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   数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数,是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一,与数列极限及数学归纳法有着密切的联系,是成人高考对数列问题考查中的热点,本点的动态函数观点解决有关问题,为其提供行之有效的方法.

  

  ●难点磁场

  

  (★★★★★)设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

  

  (1)写出数列{an}的前3项.

  

  (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)

  

  (3)令bn= (n∈N*),求 (b1+b2+b3+…+bn-n).

  

  ●案例探究

  

  [例1]已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f(x)=(x-1)2,且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1),

  

  (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

  

  (2)设数列{cn}的前n项和为Sn,对一切n∈N*,都有 =an+1成立,求 .

  

  命题意图:本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限,以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.

  

  知识依托:本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显,而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和,实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系,借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口.

  

  错解分析:本题两问环环相扣,(1)问是基础,但解方程求基本量a1、b1、d、q,计算不准易出错;(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.

  

  技巧与方法:本题(1)问运用函数思想转化为方程问题,思路较为自然,(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn},运用和与通项的关系求出dn,丝丝入扣.

  

  解:(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2,

  

  ∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d,

  

  ∵d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,

  

  ∴ =q2,由q∈R,且q≠1,得q=-2,

  

  ∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1

  

  (2)令 =dn,则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),

  

  ∴dn=an+1-an=2,

  

  ∴ =2,即cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn= [1-(-2)n].

  

  ∴ [例2]设An为数列{an}的前n项和,An= (an-1),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;

  

  (1)求数列{an}的通项公式;

  

  (2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;

  

  (3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项,Br为数列{bn}的前r项的和;Dn为数列{dn}的前n项和,Tn=Br-Dn,求 .

  

  命题意图:本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系;集合的相关概念,数列极限,以及逻辑推理能力.

  

  知识依托:利用项与和的关系求an是本题的先决;(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处,须借助于二项式定理;而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.

  

  错解分析:待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行;注意不到r与n的关系,使Tn中既含有n,又含有r,会使所求的极限模糊不清.

  

  技巧与方法:(1)问中项与和的关系为常规方法,(2)问中把3拆解为4-1,再利用二项式定理,寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔;(3)问中挖掘出n与r的关系,正确表示Br,问题便可迎刃而解.

  

  解:(1)由An= (an-1),可知An+1= (an+1-1),

  

  ∴an+1-an= (an+1-an),即 =3,而a1=A1= (a1-1),得a1=3,所以数列是以3为首项,公比为3的等比数列,数列{an}的通项公式an=3n.

  

  (2)∵32n+1=3·32n=3·(4-1)2n=3·[42n+C ·42n-1(-1)+…+C ·4·(-1)+(-1)2n]=4n+3,

  

  ∴32n+1∈{bn}.而数32n=(4-1)2n=42n+C ·42n-1·(-1)+…+C ·4·(-1)+(-1)2n=(4k+1),

  

  ∴32n {bn},而数列{an}={a2n+1}∪{a2n},∴dn=32n+1.

  

  (3)由32n+1=4·r+3,可知r= ,

  

  ∴Br= ,

  

  ●锦囊妙计

  

  1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性.

  

  2.数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式:an= 3.求通项常用方法

  

  ①作新数列法.作等差数列与等比数列.

  

  ②累差叠加法.最基本形式是:an=(an-an-1+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1.

  

  ③归纳、猜想法.

  

  4.数列前n项和常用求法

  

  ①重要公式

  

  1+2+…+n= n(n+1)

  

  12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)

  

  13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2

  

  ②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.

  

  ③裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项:

  

  ④错项相消法

  

  ⑤并项求和法

  

  数列通项与和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法.

  

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